线性代数

　　线性代数是一个数学分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和线性方程组。向量空间是现代数学的中心主题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；线性代数在解析几何中也有具体表示。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

历史
现代线性代数的历史可以上溯到1843年和1844年。1843年，哈密顿发现了四元数。1844年，Hermann Grassmann 发表了他的著作 Die lineare Ausdehnungslehre。 


基本介绍
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表征。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。

我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。

用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它，解决它（必要时使用矩阵运算）的方法。是数学中最主要的应用之一。


一些有用的定理
每一个线性空间都有一组基。 
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA = I（I 是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵。 
一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。 
一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。 
一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。 
一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。 

一般化和相关主题
线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。

模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。 
多重线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。 
在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。 
所有这些领域都有非常大的技术难点。